Lagd for Tronds favorittelever av Morten

R2 kompendium

Støtt gjerne prosjektet

Vipps et valgfritt beløp til (+47) 94 83 29 52, Morten Andreas Myrstad, for det DU føler heftet er verdt. (100% valgfritt)

1 Følger og rekker

Definisjon tallfølge

En (tall)følge er en oppramsning av tall.

Hvis oppramsningen innholder n tall, der n∈Nn\in\mathbb{N} er følgen endelig. Ellers er den uendelig.

Forskjellige typer følger.

Vanligvis navngis følger på denne måten {an}\lbrace a_n\rbrace

Rekursive følger {rn}\lbrace r_n\rbrace er definert ved blant annet
rn+2=rn+1+rnr_{n+2}=r_{n+1}+r_n
Kjent eksempel er fibbonacci følgen som bruker formelen over med start tallene 0 og 1

Ekplisitte rekker, eksempel for {en}\lbrace e_n\rbrace
en=2ne_n=2n
Kjennetegnes ved at den er uavhengig av forrige tall i følgen

Definisjon rekke

En rekke er summen av en følge. Eksempel: an=3n−1a_n=3^{n-1} For de fire første tallene i følgen har vi a1=30=1a_1=3^0=1 a2=31=3a_2=3^1=3 a3=32=9a_3=3^2=9 a4=33=27a_4=3^3=27 Summen av de fire første tallene danner rekka s4=1+3+9+27=40s_4=1+3+9+27=40

Summen av de n første leddene

Summen av de n første leddene i en rekke kan vi skrive slik:

sn=a1+a2+a3+⋯+an=∑i=1nais_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n=\sum_{i=1}^{n}a_i

sn betyr summen av de n første tallene

Som er summen av alle tallene i rekken (her mellom = og =)

Som også kan skrives med summasjonstegnet ∑\sum

Aritmetisk rekke

d er distansen mellom tallene an+1=an+d  ⟺  an=a1+(n−1)da_{n+1}=a_n+d\iff a_n = a_1 + (n-1)d

Summen av endelig aritmetisk rekke

Summen av en endelig aritmetisk rekke

sn=a1+an2⋅ns_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n
Regn ut rekken 1+2+3+4+5+6+⋯+1001+2+3+4+5+6+\dots+100
Klart dette er ikke gjort på 1-2-3, så vi må finne en smartere løsning.
Vi starter med summen av tallene fra 1 til 10... Finner vi en sammenheng?

Vel det er mange måter å tenke seg til en slags gruppering som en forklaring av formelen.
(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
11+11+11+11+1111+11+11+11+11
(1+10)⋅10/2=55(1+10)\cdot 10 / 2=55

Geometrisk rekke

k er koeffisienten mellom tallene an+1=an⋅k  ⟺  an=a1⋅kn−1a_{n+1}=a_n\cdot k\iff a_n = a_1\cdot k^{n-1}

Summen av n første i en geometrisk rekke

sn=a1⋅kn−1k−1fork≠1s_n=a_1\cdot\frac{k^n-1}{k-1} \quad \text{for}\quad k\ne1

Kovergerende rekke

Sum av kovergent rekke

En geometrisk rekker konvergerer dersom: −1<k<1-1<k<1 I en konvergent rekke er summen definert: s=a11−ks=\frac{a_1}{1-k}
Summen av en uendelig rekke (som konvergerer) kan skrives som s=lim⁡n→∞sns=\lim_{n \to \infty}s_n Benytter summen av geometrisk rekke, og at rekken er geometrisk til å finne s=lim⁡n→∞a1⋅kn−1k−1der−1<k<1s=\lim_{n \to \infty}a_1\cdot\frac{\cancel{k^n}-1}{k-1}\quad \text{der} \quad -1<k<1 s=−a1k−1s=\frac{-a_1}{k-1} s=a11−ks=\frac{a_1}{1-k}

Variable kvotienter og konvergensområde (s.62)

En geometrisk rekke konvergerer dersom −1<k(x)<1-1<k(x)<1

Eksempel på konvergensområde

Finn konvergensområde til s(x)=3+3(2x−1)+3(2x−1)2+3(2x−1)3+…s(x)=3+3(2x-1)+3(2x-1)^2+3(2x-1)^3+\dots
Først finner vi at k(x)=2x−1k(x)=2x-1, må derfor løse −1<k(x)<1-1<k(x)<1 −1<2x−1<1-1 < 2x-1 < 1 −1+1<2x−1+1<1+1-1+1 < 2x-1+1 < 1+1 0<2x<20 < 2x < 2 0<x<10 < x < 1 x∈⟨0,1⟩x\in\langle 0, 1\rangle

Induksjonsbevis

Det er en naturlig tanke å tenke at hvis noe er sant for en ting, og den neste, og den neste, og den neste, ... så må utsagnet være sant for alle de neste tallene. Dette er det bærende beviset for induksjonsbevis. Konkret må de bevise dette:
  1. Utsagnet er sant for n=1
  2. Hvis utsagnet er sant for et vilkåerlig naturlig tall, så er det også sant for det neste naturlige tallet

Eksempel på induksjonsbevis

Bevis med induksjon at 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}
Først sjekker vi om dette stemmer for første mulige tilfelle, n=1 1=1(1+1)2som er sant1=\frac{1(1+1)}{2}\quad\text{som er sant} Vi vet derfor at det stemmer for n=1 (første steget)


Så må vi bevise at formelen stemmer for et vilkåerlig tall n=k 1+2+3+⋯+k=k(k+1)21+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2} samt n=k+1 som vil gi formelen 1+2+3+⋯+k+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)21+2+3+\dots+k+(k+1)=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} Bruker derfor antagelsen 1+2+3+⋯+k=k(k+1)21+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2} k(k+1)2+(k+1)=1+2+3+⋯+k+(k+1)\textcolor{blue}{\frac{k(k+1)}{2}}+(k+1)=\textcolor{blue}{1+2+3+\dots+k}+(k+1) =k(k+1)2+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1) =k(k+1)2+2(k+1)2=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2} =k(k+1)+2(k+1)2=\frac{k\textcolor{red}{(k+1)}+2\textcolor{red}{(k+1)}}{2} =(k+1)(k+2)2=\frac{\textcolor{red}{(k+1)}(k+2)}{2} =(k+1)((k+1)+1)2=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} Vi ser at formelen vi sitter igjen med etter et at vi bestemte n=k+1 og formelen vi fikk med antagelsen + (k+1) er den samme. Derfor har vi bevist steg 2 fordi utsagnet er sant for et tilfelig naturlig tall og det neste naturlige tallet etter det igjen. Derfor stemmer utsagnet for ALLE naturlige tall.
Induksjonsbevis
Vi kan korte ned formuleringen av beviset. Vi ønsker å bevise at utsag P(n) er sant for alle naturlige tall.
  1. Vis at P(1) er sant
  2. Vis at hvis P(k) er sant for et naturlig tall k, er også P(k+1) sannt.
Da sier induksjonsbeviset at utsagnet P(n) er sant for alle naturlige tall n.

Slutt- og nåverdier

Sluttverdi
Anta 1000kr på en konto me rente på 2% stå urørt i fem år:
1000kr ⋅ 1,025 = 1104,08kr
Altså er sluttverdien på 1000 kr etter 5 år 1104 kr.
Nåverdi
Vi tar for oss samme eksmepel, bare vi ønsker å sette pengene på konto om 5 år.
x kroner som vil blir 1000kr om 5 år finner vi med likningen. x ⋅ 1,025 = 1000
Den gir x = 905,73
Altså er 906 kr nåverdien til 1000 kr om fem års tid.

Annuitetslånseksempel

Annuitetslån

Morten må låne 2 000 000 kr med en rente på 3% skal han nedbetale lånet på 20 år med like store nedbetalinger per år. Hvor stor er den årlige nedbetalingen?
Han bruker følgene formel: x⋅1,0320−11,03−1=2000000⋅1,0320x\cdot\frac{1,03^{20}-1}{1,03-1}=2 000 000\cdot1,03^{20} Og finner at x = 134 431,42 kr med en kalkulator
H.S. beskriver nåverdien av lånet, altså hva 2 000 000 kr med 3% rente over 20 år er verdt i dagens valuta.
V.S. bruker summen (s20) av en geometrisk rekke for å finne ut av hva x (a1)

Grunnen for at disse er likestilte er at nåverdien må være lik summen av alle innbetalingene, for at lånet skal gå i 0.

2 Integrasjon

Det bestemte integralet

∫abf(x)  dx\int_{a}^{b}f(x)\;dx Der a, b og f(x) er/gir reelle tall.
Beskriver arealet av funksjonen hvis f(x) kun er positiv fra a til b

Det bestemte integralet definert av riemannsummer

∫abf(x)  dx=lim⁡n→∞∑i=1n(f(xi∗))⋅Δx, der Δx=b−an\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\lim_{n\to \infin}\sum_{i=1}^{n}(f(x_i^*))\cdot\Delta x\text{, der }\Delta x = \frac{b-a}{n}

Rektangelmetoder

Rektangelmetode med venstretilnærming ∫abf(x)  dx≈∑i=1nf(xi−1)⋅Δxderxi−1=a+(i−1)⋅Δx\int_{a}^{b}f(x)\;dx \approx \sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1})\cdot\Delta x\text\enspace{der}\enspace x_{i-1} = a+(i-1)\cdot\Delta x Rektangelmetode med høyretilnærming ∫abf(x)  dx≈∑i=1nf(xi)⋅Δxderxi=a+i⋅Δx\int_{a}^{b}f(x)\;dx \approx \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\cdot\Delta x\text\enspace{der}\enspace x_i = a+i\cdot\Delta x Rektangelmetode med midtpunkttilnærming ∫abf(x)  dx≈∑i=1nf(mi)⋅Δxdermi=a+(i−12)⋅Δx\int_{a}^{b}f(x)\;dx \approx \sum_{i=1}^{n}f(m_i)\cdot\Delta x\text\enspace{der}\enspace m_i = a+\bigg(i-\frac{1}{2}\bigg)\cdot\Delta x

Trapesmetoden

Ligner midtpunkttilnærming, bare du tar gjennomsnittet av venstre og høyre side per Δx.

Forklaring trapesmetoden

∫abf(x)  dx≈Δx2(f(a)+f(b)+2⋅∑i=1n−1f(xi))\int_{a}^{b} f(x)\;dx\approx\frac{\Delta x}{2}\Bigg(f(a)+f(b)+2\cdot \sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\Bigg) der xi=a+iΔxx_i=a+i\Delta x
For å forstå dette monsteret av en funksjon, må vi først vite at det er en enklere funksjon en kan bruke: ∫abf(x)  dx≈Δx2(∑i=1nf(xi)+f(xi−1))\int_{a}^{b}f(x)\;dx\approx\frac{\Delta x}{2}\Bigg(\sum_{i=1}^{n} f(x_i)+f(x_{i-1})\Bigg) Men at denne kan omformuleres til formelen i hovedboksen
Fordi f(x0)=f(a)f(x_0)=f(a) og f(xn)=f(b)f(x_n)=f(b)
Samtidig som vi ser at alle andre xi≠x0∨xnx_i\ne x_0\lor x_n summeres dobbelt opp.
Derfor får man formelen i hovedboksen.


Hvis du lurer på hvor Δx2(f(xi)+f(xi±1))\frac{\Delta x}{2}(f(x_i)+f(x_{i\pm1})) kommer ifra er det fra funksjonen for arealet av et trapes: A=(a+b)⋅h2A=\frac{(a+b)\cdot h}{2} Hvor h=Δxh=\Delta x er høyden mellom sidene.
Hvor a=f(xi)∧b=(fx±i)a=f(x_i)\land b=(f_{x\pm i}) Gir: Ti=Δx2(f(xi)+f(xi±1))T_i=\frac{\Delta x}{2}(f(x_i)+f(x_{i\pm1})) Og fordi vi summerer sammen mange Ti settes 'konstanten' Δx2\frac{\Delta x}{2} utenfor

Gjennomsnittsverdi av en funksjon i et intervall med bruk av et bestemt integral

Gjennomsnittsverdi bestemt integral

Gjennomsnittsverdien T av en funksjon f(x) i et intervall [a, b] er gitt ved Tˉ=1b−a∫abf(x)  dx\bar T=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\;dx
f(x) er høyden til figuren i et gitt punkt
[a,b] beskriver lengden til figuren (langs x-aksen)
Og fordi integralet beskriver areal,
Så kan man dele på lengden (b-a) og sitte igjen med gjennomsnittshøyden.

Buelengde til funksjon i intervall

Buelengde

s=∫ab1+(f′(x))2  dxs=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\;dx
Ved å summere sammen alle hypotenusene til katetene (Δx) og forskjell i y får vi buelengde.
For å finne formelen må vi starte med å finne en liten buelengde: Δsi=(Δx)2+(Δf(xi))2\Delta s_i=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta f(x_i))^2} Δsi=Δx2(1+(Δf(xi)Δx)2)\Delta s_i=\sqrt{\Delta x^2\bigg(1+\Big(\frac{\Delta f(x_i)}{\Delta x}\Big)^2\bigg)} Δsi=1(f′(x))2⋅Δx\Delta s_i=\sqrt{1(f'(x))^2}\cdot \Delta x Ved å summere sammen veldig mange små buelengder i et intervall, sitter vi igjen med formelen for buelengde!

Det ubestemte integralet

K(x) står får den antideriverte, som også er det integrering er
∫f(x)  dx=K(x)+C\int f(x)\;dx=K(x)+C, der K′(x)=f(x)K'(x)=f(x) og C∈RC\in \mathbb{R}

Integrasjonregel: konstant faktor

En konstant faktor blir uendret ved integrasjon: ∫k⋅u(x)  dx=k∫u(x)  dx(k∈R)\int k\cdot u(x)\;dx=k\int u(x)\;dx\qquad\qquad(k\in\mathbb{R})

Integrasjonregel: flere utrykk

Flerleddet utrykk som integreres kan oppspaltes: ∫(u(x)±v(x))  dx=∫u(x)  dx±∫v(x)  dx\int \big(u(x)\pm v(x)\big)\;dx=\int u(x)\;dx\pm\int v(x)\;dx

Integrasjonregel: potenser

Generelt kan vi integrere potensen: ∫xr  dx=1r+1xr+1+C(r≠−1)\int x^r\;dx=\frac{1}{r+1}x^{r+1}+C\qquad\qquad (r\neq -1)

Integrasjonregel: x−1x^{-1} ved logaritme

∫1x  dx=ln⁡∣x∣+C(x≠0)\int \frac{1}{x}\;dx=\ln|x|+C\qquad\qquad (x\neq0) ⇕\Updownarrow ∫1ax+b  dx=1aln⁡∣ax+b∣+C(x≠−ba)\int \frac{1}{ax+b}\;dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C\qquad\qquad \Big(x\neq-\frac{b}{a}\Big)

Integrasjonregel: eksponensialfunksjoner

∫ex  dx=ex+C\int e^x\;dx=e^x+C ∫ekx  dx=1kekx+C(k≠0)\int e^{kx}\;dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C\qquad(k\neq0) ∫ax  dx=axln⁡a+C(a>0,a≠1)\int a^x\;dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\qquad(a>0,a\neq1)

Bestemt integrasjon med antiderivasjon

La F være en antiderivert av f slik at F'(x)=f(x). ∫abf(x)  dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)\;dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)

Integrasjonsmetode: delvis integrasjon

∫u′⋅v  dx=u⋅v−∫u⋅v′  dx\int u'\cdot v\;dx=u\cdot v-\int u\cdot v'\;dx ∫u⋅v′  dx=u⋅v−∫u′⋅v  dx\int u\cdot v'\;dx=u\cdot v-\int u'\cdot v\;dx

Integrasjonsmetode: variabelskifte

Metode for substitusjon
  1. Velg en kjerne u
  2. Finn u'
  3. Erstatt dx med duu′\frac{du}{u'}
  4. Forenkle slikt at kun u består (er dette ikke mulig fungerer ikke metoden)
  5. Integrer med u som variabel
  6. Sett inn for u, slik at svaret blir en funksjon av x

Integrasjonsmetode: delbrøkoppspalting

Metoden: La P og Q være polynomfunksjoner med grad p og q. Slik at p < q
Er derimot p>q må polynomdivisjon gjøres først!

Da kan brøken P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)} skrives som en sum av q delbrøker.

Summen til integralene av delbrøkene må derfor være lik: ∫P(x)Q(x)  dx\int\frac{P(x)}{Q(x)}\;dx

Eksempel delbrøkoppspalting

∫49x2−1 dx\int\frac{4}{9x^2-1}\:dx   ⟹  ∫( −23x+1+23x−1)  dx=23ln⁡∣3x−13x+1∣+C\implies\int\Bigg(\ \frac{-2}{3x+1}+\frac{2}{3x-1} \Bigg)\;dx = \frac{2}{3}\ln\Bigg| \frac{3x-1}{3x+1} \Bigg|+C
Benytter oss av delbrøkoppspalting for å forenkle utrykket 49x2−1=A3x+1+B3x−1\frac{4}{9x^2-1}=\frac{A}{3x+1}+\frac{B}{3x-1} 49x2−1=A(3x+1)(3x−1)+B(3x−1)(3x+1)\frac{4}{9x^2-1}=\frac{A}{(3x+1)(3x-1)}+\frac{B}{(3x-1)(3x+1)} 49x2−1=A(3x−1)(3x+1)(3x−1)+B(3x+1)(3x−1)(3x+1)\frac{4}{\cancel{9x^2-1}}=\frac{A\pink{(3x-1)}}{\cancel{(3x+1)\pink{(3x-1)}}}+\frac{B\pink{(3x+1)}}{\cancel{(3x-1)\pink{(3x+1)}}} 4=A(3x−1)+B(3x+1)4=A(3x-1)+B(3x+1) Setter inn for x slik at vi finner A og B (alene)
x=−13  ⟹  4=A(−1−1)+B(−1+1)  ⟹  A=−2‾x=-\frac{1}{3}\implies4=A(-1-1)+B(-1+1)\implies \underline{A=-2}
x=13  ⟹  4=A(1−1)+B(1+1)  ⟹  B=2‾x=\frac{1}{3}\implies4=A(1-1)+B(1+1)\implies \underline{B=2}
Setter dette inn i integralet ∫( A3x+1+B3x−1)  dx=∫( −23x+1+23x−1)  dx\int\Bigg(\ \frac{A}{3x+1}+\frac{B}{3x-1} \Bigg)\;dx=\int\Bigg(\ \frac{-2}{3x+1}+\frac{2}{3x-1} \Bigg)\;dx =−23ln⁡∣3x+1∣+23ln⁡∣3x−1∣+C=-\frac{2}{3}\ln|3x+1|+\frac{2}{3}\ln|3x-1|+C =23ln⁡∣3x−13x+1∣+C= \frac{2}{3}\ln\Bigg| \frac{3x-1}{3x+1} \Bigg|+C Er du usikker på siste linje? Så snur man leddene, så ser man at logaritmesetningen om ln(a)-ln(b)=ln(a/b) benyttes

Volum av omdreiningslegemer

La f være en kontinuerlig funksjon i intervallet [a,b]
Dreier vi grafen 360°(2π rad) om x-aksen får vi volumet: V=πr2=π∫ab(f(x))2  dxV=\pi r^2=\pi\int_a^b\big(f(x)\big)^2\;dx

Areal av omdreiningslegemer

La f være en kontinuerlig og integrerbar funksjon i intervallet [a,b]
Dreier vi grafen 360°(2π rad) om x-aksen får vi arealet: A=2π∫abf(x)1+(f′(x))2  dxA=2\pi\int_a^bf(x) \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2} \;dx Merk: at vi bruker buelengde for å finne arealet!

Omdreiningslegemer rundt y-aksen

V=π∫cd(g(y))2  dyV=\pi\int_c^d\big(g(y)\big)^2\;dy A=2π∫cdg(y)1+(g′(y))2  dyA=2\pi\int_c^dg(y) \sqrt{1+\big(g'(y)\big)^2} \;dy Der g er den omvendte funksjonen til f, c=f(a) og d=f(b)
Som betyr at man kan skrive følgene om en har f(x): V=π∫f(a)f(b)(f−1(x))2  dxV=\pi\int_{f(a)}^{f(b)}\big(f^{-1}(x)\big)^2\;dx

3 Trigonometri

Radianer (det absolutte vinkelmålet)

Vinkel v målt i radianer er lik forholdet mellom buelengden b og radien r. v=brv=\frac{b}{r}

Omgjøring fra grader til radianer og motsatt

Vinkelen n° er ekvivalent med radianen v så er: v=n°180°⋅πogn°=vπ⋅180°v=\frac{n\degree}{180\degree}\cdot\pi\quad\text{og}\quad n\degree=\frac{v}{\pi}\cdot180\degree

Kvadrantene og omløp (forhold til grunnstilling)

Kvadrant 1: n°∈[0,90]∨v∈[0,π2]n\degree\in[0,90\quad\enspace]\quad\lor\quad v\in[0,\frac{\pi}{2}]
Kvadrant 2: n°∈[90,180]∨v∈[π2,π]n\degree\in[90,180\enspace]\quad\lor\quad v\in[\frac{\pi}{2},\pi]
Kvadrant 3: n°∈[180,270]∨v∈[π,3π2]n\degree\in[180,270]\quad\lor\quad v\in[\pi,\frac{3\pi}{2}]
Kvadrant 4: n°∈[270,360]∨v∈[3π2,2π]n\degree\in[270,360]\quad\lor\quad v\in[\frac{3\pi}{2},2\pi]

Første omløp: n°∈[0,360⟩∨v∈[0,2π⟩n\degree\in[0,360\quad\rang\quad\lor\quad v\in[0,2\pi\rang
Andre omløp: n°∈[360,720⟩∨v∈[2π,4π⟩n\degree\in[360,720\rang\quad\lor\quad v\in[2\pi,4\pi\rang

Enhetssirkelen → Cosinus, Sinus og Tangens

s.189

Cosinus, Sinus og Tangens er periodiske

For k∈Zk\in\Z har vi cos⁡(v+k⋅360°)=cos⁡vcos⁡(v+k⋅2π)=cos⁡v\cos(v+k\cdot360\degree)=\cos v \qquad\cos(v+k\cdot2\pi)=\cos v sin⁡(v+k⋅360°)=sin⁡vsin⁡(v+k⋅2π)=sin⁡v\sin(v+k\cdot360\degree)=\sin v \qquad\sin(v+k\cdot2\pi)=\sin v tan⁡(v+k⋅180°)=tan⁡vtan⁡(v+k⋅π)=tan⁡v\tan(v+k\cdot180\degree)=\tan v \qquad\tan(v+k\cdot\pi)=\tan v

Viktige eksakte trigonometriske verdier

En tabell (s.193-194, marg av bok)

Huskeregel:
cos[0,30,45,60,90]=[42,32,22,12,02]cos [0,30,45,60,90]=[\frac{\sqrt{4}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{0}}{2}]

sin[90,60,45,30,0]=[42,32,22,12,02]sin [90,60,45,30,0]=[\frac{\sqrt{4}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{0}}{2}]

Trigonometriske identitet: enhetsformelen

cos⁡2v+sin⁡2v=1\cos^2v+\sin^2v=1

Sum og differense vinkler (i trig. funksjoner)

sin⁡(u±v)=sin⁡u⋅cos⁡v±cos⁡u⋅sin⁡v\sin(u\pm v)=\sin u\cdot\cos v\pm\cos u\cdot\sin v cos⁡(u±v)=cos⁡u⋅cos⁡v∓sin⁡u⋅sin⁡v\cos(u\pm v)=\cos u\cdot\cos v\mp\sin u\cdot\sin v tan⁡(u±v)=tan⁡u±tan⁡v1∓tan⁡u⋅tan⁡v\tan(u\pm v)=\frac{\tan u\pm\tan v}{1\mp\tan u\cdot\tan v}

Doble vinkler (i trig. funksjoner)

For sinus: sin⁡2v=2sin⁡v⋅cos⁡v\sin2v=2\sin v\cdot\cos v For cosinus: cos⁡2v=cos⁡2v−sin⁡2v=1−2sin⁡2v=2cos⁡2v−1\begin{align*}\cos2v&=\cos^2v-\sin^2v\\&=1-2\sin^2v\\&=2\cos^2v-1 \end{align*} For tangens: tan⁡2v=2tan⁡v1−tan⁡2v\tan2v=\frac{2\tan v}{1-\tan^2v}

Harmoniske svingninger

f(x)=Asin⁡(cx+φ)+df(x)=A\sin(cx+\varphi)+d

Sinusargumentet cx+φ

Vi antar at c og φ er positive

d

likevektslinja (y=d) ligger midt i mellom topp og bunnpunktet til sinusfunksjonen.

Vi har derfor y=d, der d=ymaks+ymin2d=\frac{y_{maks}+y_{min}}{2}

A

Ampliduten (A) er avstanden fra topppunktet (eller bunnpunktet) til likevektslinja y = d. Kalles også maksimalt utslag

Derfor er A=ymaks−ymin2A=\frac{y_{maks}-y_{min}}{2}

c

Perioden p til en harmonisk svingning er avstanden mellom to punkter der grafen gjentar seg selv. Eksempel to topp- eller bunnpunkter.

Når x = 0, er sinusargumentet φ

Etter én periode er sinusargumentet lik φ+2π. Da skal x ha verdien p.

Det gir cp+φ=φ+2π⇔c=2πpcp+\varphi=\varphi+2\pi\Leftrightarrow c=\frac{2\pi}{p}

φ

Representerer hvor mye sinusfunksjonen er forskjøvet fordi sin(x) når x er 0 gir 0. Mens sin(x+φ) når x er 0 og φ er π/2 gir verdien 1 da er grafen altså forskjøvet med 90°


Alternativ forklaring er at etter likevektslinja antar vi at sinusfunksjonen stiger oppover i x0 = 0. Da er y = d, så sinusargumentet kan være lik null.

Det gir cx0+φ=0⇔c=2πp⇔φ=−x0ccx_0+\varphi=0\Leftrightarrow c=\frac{2\pi}{p}\Leftrightarrow\varphi=-x_0c

Derfor er grafen til A sin (cx + φ) + d forskjøvet x0 langs likevektslinja sammenlignet med A sin (cx) + d.

Grafen er forskjøvet mot høyre når φ<0 og x0 er positiv. Helt motsatt når grafen er forskjøvet mot venstre. (φ>0 og x0 er negativ)

Sinusfunksjonen f gitt ved f(x)=Asin(cx+φ) gir den samme grafen som cosinusfuksjonen g

g(x)=Acos⁡(cx+θ)+d, der θ=φ−π2g(x)=A\cos(cx+\theta)+d\text{, der }\theta=\varphi-\frac{\pi}{2}

(fordi sinusfunksjonen forskjøvet ved 90° overlapper med cosinusfuksjonen)

Gjøre om til Sinus

asin⁡cx+bcos⁡cx=Asin⁡(cx+φ)a\sin cx+b\cos cx=A\sin(cx+\varphi) der A=a2+b2 og tan⁡φ=ab\text{der }A=\sqrt{a^2+b^2}\text{ og }\tan\varphi=\frac{a}{b} φ ligger i samme kvadrant som punket (a,b).\varphi\text{ ligger i samme kvadrant som punket }(a,b).

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

f(x)=sin⁡x  ⟹  f′(x)=cos⁡xf(x)=\sin x \implies f'(x)=\cos x f(x)=cos⁡x  ⟹  f′(x)=−sin⁡xf(x)=\cos x \implies f'(x)=-\sin x f(x)=tan⁡x  ⟹  f′(x)=1cos⁡2x=1+tan⁡2xf(x)=\tan x \implies f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x
(s.236 kjerneregel ved konstant inni trig.funksjon)

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

∫sin⁡x  dx=−cos⁡x+C\int\sin x\;dx=-\cos x + C ∫cos⁡x  dx=sin⁡x+C\int\cos x\;dx=\sin x + C
(s.241 kjerneregel ved konstant inni trig.funksjon)

4 Modeller (s.300)

Regresjon

Analyse av modeller

Veksmodeller

Eulermetoden♥

Beskrivelse/ formell definisjon
Gitt to første ordens differensialligning f og g {dxdt=f(x,y,t)dydt=g(x,y,t)\begin{cases}\frac{dx}{dt}=f(x,y,t)\newline\frac{dy}{dt}=g(x,y,t)\end{cases} som beskriver en kurve [x(t),y(t)][x(t),y(t)]. Eulers metode består i å velge en initialverdi, (x0,y0)(x_0,y_0) og en steglengde h.
Så beregnes videre det en følge av punkter xn+1,yn+1=(xn+hf(xn,yn,tn),yn+hg(xn,yn,tn))x_{n+1},y_{n+1}=\big(x_n+hf(x_n,y_n,t_n),y_n+hg(x_n,y_n,t_n)\big) Hvor tn=nht_n=nh. Denne punktfølgen beskriver en approksimasjon av kurven [(x(t),y(t))][(x(t),y(t))] med initialbetingesle [(x(0),y(0))]=(x0,y0)[(x(0),y(0))]=(x_0,y_0)

Eksempel programmering (Python) 

from pylab import *

a = 0
b = 50
n = 10000
delta_t = (b - a)/n
N0 = 6500

def N_derivert(N):
    return -0.007*N - 25

t = zeros(n)
N = zeros(n)

t[0] = a
N[0] = N0

for i in range(n - 1):
    N[i+1] = N[i] + N_derivert(N[i]) * delta_t
    t[i+1] = t[i] + delta_t

plot(t, N)
xlabel("Tid (år)")
ylabel("Innbyggertall")
show()
Gir utskriften:

5 Romgeometri

3D versus 2D

Generelt kan 2D punkter skrives (x,y) og 3D punkter (x, y, z)
Det samme gjelder vektorer

Elementærvektor

Vi bruker elementærvektorene (3D) ex⃗=[1,0,0]\vec{e_x} = [1,0,0] ey⃗=[0,1,0]\vec{e_y} = [0,1,0] ez⃗=[0,0,1]\vec{e_z} = [0,0,1] Til å beskrive 3D vektorer [x,y,z]=[x⋅ex⃗,y⋅ey⃗,z⋅ez⃗][x,y,z]=[x\cdot\vec{e_x}, y\cdot\vec{e_y}, z\cdot\vec{e_z}]

Vektorregler? (s.307)

Lengde på vektor (Pytagoras)

u⃗≔[x,y,z]har lengden∣u⃗∣=x2+y2+z2\vec{u}\coloneqq[x,y,z]\quad\text{har lengden}\quad|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Definere vektor ut ifra 2 punkt

P(x1,y1,z1) og Q(x2,y2,z2) gir vektorenP(x_1,y_1,z_1)\text{ og } Q(x_2,y_2,z_2)\text { gir vektoren} PQ→=[x2−x1,y2−y1,z2−z1]\overrightarrow{PQ}=[x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1]

Parallelle vektorer

u⃗∣∣v⃗  ⟺  u⃗=kv⃗(k∈R)\vec{u}||\vec{v}\iff\vec{u}=k\vec{v}\qquad(k\in\R) u⃗∣∣v⃗  ⟺  ∣u⃗×v⃗∣=0  \vec{u}||\vec{v}\iff|\vec{u}\times\vec{v}|=0\qquad\quad\medspace\medspace

Skalarproduktets definisjoner

u⃗≔[x1,y1,z1] og v⃗≔[x2,y2,z2]\vec{u}\coloneqq[x_1,y_1,z_1]\text{ og }\vec{v}\coloneqq[x_2,y_2,z_2] u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\theta Der θ∈[0°,180°]∨θ∈[0,π]\theta\in[0\degree,180\degree]\lor\theta\in[0,\pi]
er vinkelen mellom u⃗\vec{u} og v⃗\vec{v}

Vektor-regneregler? (s.316)

Ortogonale vekoterer

To vektorer er ortogonale dersom dersom de står vinkelrett på hverandre, med andre ord danner en vinkel på 90° (er rettvinklet)

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0

Vektorproduktet (kryssproduktet) [trenger krysningsskjemaet]

Vektorproduktet representerer en vektor som er ortogonal med begge vektorene den er definert med sine lengder som òg tilsvarer arealet til paralellogrammet vektorene utspenner u⃗×v⃗=[y1z2−z1y2,  z1x2−x1z2,  x1y2−y1x2]\vec{u}\times\vec{v}=[y_1z_2-z_1y_2,\;z_1x_2-x_1z_2,\;x_1y_2-y_1x_2] Tips sett opp skjema under med x, y, z, x, y på toppen når du regner for hånd
hvordan sette opp skjema for å regne vektorproduktet
Formelt er vektorproduktet definert slikt: u⃗×v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣sin⁡(θ)  n\vec{u}\times\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\sin(\theta)\;n Hvor θ er vinkelen mellom u og v (0° til 180°) og n er en normalisert vektor som er ortogonal på både u og v

Her skjønner vi også hvorfor u⃗×v⃗=0  ⟺  u⃗⊥v⃗\vec{u}\times\vec{v}=0\iff\vec{u}\perp\vec{v} som selfølgelig er fordi sin(0°) og sin(180°) er 0

Utlede vektorproduket

u⃗×v⃗=[y1z2−z1y2,  z1x2−x1z2,  x1y2−y1x2]\vec{u}\times\vec{v}=[y_1z_2-z_1y_2,\;z_1x_2-x_1z_2,\;x_1y_2-y_1x_2]
Også definert med den formelle determinanten c⃗=u⃗×v⃗\vec{c}=\vec{u}\times\vec{v} c⃗=det⁡(exeyezx1y1z1x2y2z2)\vec{c}=\det\begin{pmatrix} e_x & e_y & e_z \newline x_1 & y_1 & z_1 \newline x_2 & y_2 & z_2 \end{pmatrix} c⃗=ex⋅∣y1z1y2z2∣−ey⋅∣x1z1x2z2∣+ex⋅∣x1y1x2y2∣\vec{c}=e_x\cdot\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \newline y_2 & z_2 \end{vmatrix} - e_y\cdot\begin{vmatrix} x_1 & z_1 \newline x_2 & z_2 \end{vmatrix} + e_x\cdot\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \newline x_2 & y_2 \end{vmatrix} c⃗=ex⋅∣y1z2−z1y2∣−ey⋅∣x1z2−z1x2∣+ex⋅∣x1y2−y1x2∣\vec{c}=e_x\cdot|y_1z_2-z_1y_2| - e_y\cdot|x_1z_2-z_1x_2| + e_x\cdot|x_1y_2-y_1x_2|
De to nederste linjene er gjenkjennbare i «Trond metoden» hvor man ganger oppe fra venstre til nede til høyre så subtraherer det som er oppe til høyre ganger nede til venstre.

En fordel med å ikke bruke determinanten er minusen på ey som følge av at den «mangler plass» eller må ta fra både venstre og høyre kolonne av seg selv.

Derfor anbefales det sterkt av meg personlig å sette opp skjemaet.

Lagranges identitet...

Fordi ingen ønsker å se utredelsen til identiteten, skriver jeg den kun ned. ∣u⃗×u⃗∣=∣u⃗∣⋅∣u⃗∣⋅sin⁡θ|\vec{u}\times\vec{u}|=|\vec{u}|\cdot|\vec{u}|\cdot\sin\theta Men... derimot kan man se den ligner den formelle definisjonen ;)

Areal og volum med vektorprodukt

Ulike areal 2D

Parallellogram: ∣u⃗×v⃗∣|\vec{u}\times\vec{v}|
Trekant: 12∣u⃗×v⃗∣\frac{1}{2}|\vec{u}\times\vec{v}|

Ulike areal 3D

Parallellopiped: ∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|
Trekantet prisme: 12∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣\frac{1}{2}|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|
Firkantet pyramide: 13∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣\frac{1}{3}|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|
Tetraeder: 16∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣\frac{1}{6}|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|

Parameterframstilling: rett linje

En rett linje ℓ som går gjennom P(x0,y0,z0)
or har retningsvektoren [a,b,c] beskrives ℓ:{x=x0+aty=y0+btz=z0+ct\ell: \begin{cases}x=x_0+at\newline y=y_0+bt\newline z=z_0+ct\end{cases}
To linjer i rommet kan kun være:
  • være parallelle, men ikke sammenfallende
  • være parallelle og sammenfallende
  • være vindskeive (treffer aldri)
  • skjøre hverandre i ett punkt

Treffer to linjer?

Undersøk hvordan linjene ligger i forhold til hverandre ℓ:{x=1+2ty=5+3tz=5+tm:{x=−2ty=5−3tz=3−tn:{x=1+ty=6+2tz=−2−3t\ell:\begin{cases}x=1+2t\newline y=5+3t\newline z=5+t\end{cases}\qquad m:\begin{cases}x=-2t\newline y=5-3t\newline z=3-t\end{cases}\qquad n:\begin{cases}x=1+t\newline y=6+2t\newline z=-2-3t\end{cases} ℓ og m er parallelle men skjærer ikke hverandre
ℓ og n skjærer hverandre i (-1,2,4)
Finner vi at m og n er vindskjeive.
Vi starter med å finne retningsvektorene rℓ⃗=[2,3,1]\vec{r_\ell}=[2,3,1], rm⃗=[−2,−3,−1]\vec{r_m}=[-2,-3,-1] og rn⃗=[1,2,−3]\vec{r_n}=[1,2,-3]
På grunn av rℓ⃗=−rm⃗\vec{r_\ell}=-\vec{r_m} er rℓ⃗∥rm⃗\vec{r_\ell}\|\vec{r_m}. Altså ℓ og m er parallelle
For å sjekke om linjene er sammenfallende sjekker vi om begge linjene har samme punkt. Vi starter men et kjent punkt på ℓ eksempel (1,5,5).
Vi sjekker om dette punktet også er på m ved å sette z lik hverandre:
m(−2)=(4,11,5)≠(1,5,5)m(-2)=(4,11,5)\neq(1,5,5) da kun z-kordinated er likt.
Ergo ℓ og m er parallelle men ikke sammenfallende


For å sjekke om to ikke parallelle linjer treffer hverandre setter man opp et likninssystem for med 3 linjer. Eksempel for ℓ og n {I:1+2t=1+sII:5+3t=6+2sIII:5+t=−2−3s\begin{cases}I:&1+2t=1+s\newline II:&5+3t=6+2s\newline III:&5+t=-2-3s\end{cases} Likning III gir t=-7-3s Vi setter inn i I og II: {I:1+2(−7−3s)=1+s  ⟺  s=−2II:5+3(−7−3s)=6+2s  ⟺  s=−2\begin{cases}I:&1+2(-7-3s)=1+s&\iff s=-2\newline II:&5+3(-7-3s)=6+2s&\iff s=-2\end{cases} Siden vi fikk samme verdi av s, skjærer ℓ og m hverandre. Vi setter inn -2 for ℓ eller m og finner skjæringspunktet (-1,2,4)
ℓ og m skjærer hveradnre i punktet (-1,2,4)

Vi bruker samme metode for m og n, som gir likninssystemet: {I:−2t=1+sII:5−3t=6+2sIII:3−t=−2−3s\begin{cases}I:&-2t=1+s\newline II:&5-3t=6+2s\newline III:&3-t=-2-3s\end{cases} Likning III gir t=5+3s. Som vi setter inn i I og II: {I:−2(5+3s)=1+s  ⟺  s=−11/7II:5−3(5+3s)=6+2s  ⟺  s=−16/11\begin{cases}I:&-2(5+3s)=1+s &\iff s=-11/7\newline II:&5-3(5+3s)=6+2s &\iff s=-16/11\end{cases} Siden s-verdiene ikke er like, skjærer ikke m og n. Altså de er altså vindskeive.

Parameterframstilling: for kurver

r⃗(t)=[x(t),y(t),z(t)]\vec{r}(t)=\Big[x(t),y(t),z(t)\Big]

Matte, men egentlig fysikk (akselerasjon)

La t være en parameter for tid, og r en posisjonsvektoren
Så er sammenhengen mellom akselerasjon, fart og posisjon: a⃗(t)=v⃗′(t)=r⃗′′(t)\vec{a}(t)=\vec{v}'(t)=\vec{r}''(t)

Definisjon plan

Et plan er en flate som ikke krummer i rommet. Og kan beskrives: ax+by+cz=dax+by+cz=d Et plan er kun definert med disse likestilte opplysningene:
  • tre punkter som ikke ligger på èn linje
  • et punkt og to ikke-parallelle vekotrer
  • et punkt og en normalvektor

Definere et plan med punkt og normalvektor

Et plan som går gjennom punktet (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) og normalvektoren [a,b,c][a,b,c]. a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 Som blir likningen til planet

Hvorfor holder kun den formelen?

Fordi a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 kan brukes ved alle tilfeller med tilstrekkelig informasjon! (3 punkt og to ikke-parallelle vektorer)
La oss ta for oss lista nedenfor for å vise at ved alle tilfellene kan vi lage likningen til planet definert av dem.
  • tre punkter som ikke ligger på èn linje
  • et punkt og to ikke-parallelle vekotrer
  • et punkt og en normalvektor (basisen, allerede løst)
Med «tre punkter som ikke ligger på èn linje» gjør vi følgene. Lager to forskjellige vektorer med punktene. Tar vektorproduktet av dem for å finne normalvektoren. Så har vi minst et punkt og normalvektor.

Med «et punkt og to ikke-parallelle vekotrer» tar vi kun vektorproduket av vektorene for å finne normalvektor. Så har vi minst et punkt og normalvektor.

Parameterframstilling for plan

Et plan α går gjennom punket (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) og er parallelt med de to ikke parallelle vektorene [a1,b1,c1][a_1,b_1,c_1] og [a2,b2,c2][a_2,b_2,c_2]. Gir parameterframstillingen: α:{x=x0+a1s+a2ty=y0+b1s+b2tz=z0+c1s+c2t\alpha:\quad\begin{cases}x=x_0+a_1s+a_2t \newline y=y_0+b_1s+b_2t\newline z=z_0+c_1s+c_2t \end{cases}
utredning? (s. 353)

Skjæring mellom plan (parameterframstilling)

Skjæringslinje mellom to plan

Gitt planene α og β α:x+y−z+1=0β:3x−3y+z+3=0\begin{align*}\alpha:\quad&x+y-z+1=0\newline\beta:\quad&3x-3y+z+3=0\end{align*} Forklar hvorfor skjæringslinja ℓ skjærer α og β ℓ:{x=ty=4+4tz=5+5t\ell:\quad\begin{cases}x=t\\ y=4+4t\\ z=5+5t\end{cases}
Vi starter med å finne et felles punkt for planene α og β siden det blir et kjent punkt for skjæringslinja. Vi bruker x = 0 for å finne y og z kordinatene som oppfyller planlikningene. {α:y−z+1=0β:−2y+z+3=0\begin{cases}\alpha:&y-z+1=0\\\beta:&-2y+z+3=0\end{cases} Vi adderer likningene og får −y+4=0  ⟹  y=4-y+4=0\implies y=4 og setter y=4 i første likning 1(4)−z+1=0  ⟹  z=51(4)-z+1=0\implies z=5.
Dette gir punktet (0, 4, 5)

Normalvektorene til planene er nα=[1,1−1]∨nβ=[3,−2,1]n_\alpha=[1,1-1]\lor n_\beta=[3,-2,1] nα×nβ=[−1,−4,−5]=−1⋅[1,4,5]n_\alpha\times n_\beta=[-1,-4,-5]=-1\cdot[1,4,5] Vi har da et kjent punkt på skjæringslinja (0, 4, 5) og en vektor [1,4,5] som står normalt på begge planene (må være parallell med skjæringslinja). Det er nok til å definere en parameterframstilling.

Vinkler mellom to linjer

Vinkelen v mellom to linjer skal ligge i intervallet [0°, 90°]
La vinkelen u være vinklen mellom retningsvektorene. Det betyr v=u hvis 0°≤u≤90°v=180°−u hvis 90°≤u≤180°\begin{align*}&v=u\text{ hvis }0\degree\le u\le90\degree\\&v=180\degree-u\text{ hvis }90\degree\le u\le180\degree \end{align*}

Vinkler mellom to plan

Vinkelen v mellom to plan skal ligge i intervallet [0°, 90°]
La vinkelen u være vinklen mellom normalvektorene for planene. Det betyr v=u hvis 0°≤u≤90°v=180°−u hvis 90°≤u≤180°\begin{align*}&v=u\text{ hvis }0\degree\le u\le90\degree\\&v=180\degree-u\text{ hvis }90\degree\le u\le180\degree \end{align*}

Vinkler mellom linje og plan

Vinkelen v mellom en linje og et plan skal ligge i intervallet [0°, 90°]
La vinkelen u være vinklen mellom en retningsvektor (linje) og normalvektor (planet). Det betyr v=90°−u hvis 0°≤u≤90°v=u−90° hvis 90°≤u≤180°\begin{align*}&v=90\degree-u\text{ hvis }0\degree\le u\le90\degree\\&v=u-90\degree\text{ hvis }90\degree\le u\le180\degree \end{align*}

Avstander

Avstand linje - punkt
La r⃗\vec{r} være retningsvektoren til en linje gjennom P.
Avstanden blir D mellom et punkt Q og linja (gitt ved P og r) D=∣PQ⃗×r⃗∣∣r⃗∣D=\frac{|\vec{PQ}\times\vec{r}|}{|\vec{r}|}

Avstand plan - punkt
Et plan med ax + by + cz + d = 0.
Gir avstanden D mellom punket (x1,y1,z1)(x_1,y_1,z_1) og planet: D=∣ax1+byz+cz1+d∣a2+b2+c2D=\frac{|ax_1+by_z+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Avstanden mellom punkt og linje(s.368)

Eksempel kommer!

Avstanden mellom to linjer(s.370)

Eksempel kommer!

Avstanden mellom punkt og plan(s.372)

Eksempel kommer!

Avstanden mellom linje og plan(s.34)

Eksempel kommer!

Avstanden mellom to plan(s.375)

Eksempel kommer!

Likning til kuleflate

En kule med sentrum i (x0,y0,z0x_0,y_0,z_0) og radius r. Gir (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=r2(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2 som likningen til kuleflata.

Parameterframstilling til kuleflate

Parameterframstillingen for en kuleflate K med sentrum i origo og radius r er gitt ved: K:{x=r⋅cos⁡B⋅cos⁡Ly=r⋅cos⁡B⋅sin⁡Lz=r⋅sin⁡BK:\begin{cases}x=r\cdot\cos B\cdot\cos L\\y=r\cdot\cos B\cdot\sin L\\z=r\cdot\sin B\end{cases} der B∈[−90°,90°]B\in[-90\degree,90\degree] og L∈⟨−180°,180°]L\in\langle-180\degree,180\degree].
Til toppen